Discursión de sistemas. (ABM)

Solución

Operaciones matriciales. (ABM)

Solución

Álgebra de matrices. (ABM)

Matriz: disposición numérica en forma de tabla, es decir, filas y columnas. La dimensión de una matriz se calcula mediante el número de filas y de columnas, y representa el tamaño de la matriz.

En caso de ''3x3'' se dice que es ''matriz de orden 3'' y ''cuadrada''. Una matriz ''cuadrada'' es cuando tiene el mismo número de filas que de columnas.

Operaciones con matrices:

• Suma: Deben tener la misma dimensión. Se suman elemento a elemento en la misma posición.
• Producto de n por matriz: Se multiplica n por cada uno de los elementos.
• Producto de matrices: No se cumple la propiedad conmutativa.

• Trasposición:

Tipos de matrices:

• Cuadradas.
• Simétricas: la matriz es igual a su traspuesta.
• Triangular: tiene elementos iguales a cero por debajo de su diagonal principal.
• Matriz identidad: Matrices cuadradas compuestas por ''1'' en la diagonal principal y ''0'' en el resto.

Vídeos de asíntotas. (ABM)

Vídeos de crecimiento y decrecimiento. (ABM)

Vídeos de cálculo de derivadas. (ABM)

Ejemplos de límites (II). (ABM)

Ejemplos de límites. (ABM)

Objetivos para selectividad: análisis. (ABM)

Los contenidos que el alumno debe conocer para selectividad del bloque análisis son los siguientes:

• Saber aplicar los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límites laterales para estudiar la continuidad de una función y la existencia de asíntotas verticales.
• Saber aplicar el concepto de límite de una función en el ±¥ para estudiar la existencia de asíntotas horizontales y oblicuas.
• Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos de indeterminación siguientes: ¥ /¥ , 0/0, 0 × ¥, ¥-¥(se excluyen los de la forma 1^¥, ¥⁰ y 0⁰) y técnicas para resolverlas.
• Saber determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
• Saber distinguir entre función derivada y derivada de una función en un punto. Saber hallar el dominio de derivabilidad de una función.
• Conocer la relación que existe entre la continuidad y la derivabilidad de una función en un punto.
• Saber determinar los intervalos de crecimiento o de decrecimiento de una función mediante su derivada.
• Saber determinar la derivabilidad de funciones definidas a trozos.
• Conocer y saber aplicar el teorema de derivación para funciones compuestas (la regla de la cadena) y su aplicación al cálculo de las derivadas de funciones y de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
• Conocer la regla de L'Hôpital y saber aplicarla al cálculo de límites para resolver indeterminaciones.
• Saber reconocer si los puntos críticos de una función (puntos con derivada nula) son extremos locales o puntos de inflexión.
• Saber aplicar la teoría de funciones continuas y de funciones derivables para resolver problemas de extremos.
• Saber representar de forma aproximada la gráfica de una función de la forma y=f(x) indicando: dominio, simetrías, periodicidad, cortes con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos locales, intervalos de concavidad (f''(x)<0) y convexidad (f''(x)>0 ) y puntos de inflexión.
• Partiendo de la representación gráfica de una función o de su derivada, ser capaz de obtener información sobre la propia función (límites, límites laterales, continuidad, asíntotas, derivabilidad, crecimiento y decrecimiento, etc.).
• Dadas dos funciones, mediante sus expresiones analíticas o mediante sus representaciones gráficas, saber reconocer si una es primitiva de la otra.
• Saber la relación que existe entre dos primitivas de una misma función.
• Dada una familia de primitivas, saber determinar una que pase por un punto dado.
• Saber calcular integrales indefinidas de funciones racionales en las que las raíces del denominador son reales.
• Conocer el método de integración por partes y saber aplicarlo reiteradamente.
• Conocer la técnica de integración por cambio de variable.
• Conocer las propiedades de linealidad de la integral definida respecto al integrando y conocer la propiedad de aditividad con respecto al intervalo de integración.
• Conocer las propiedades de monotonía de la integral definida respecto al integrando.
• Conocer la interpretación geométrica de la integral definida de una función (el área como límite de sumas superiores e inferiores).
• Conocer la noción de función integral (o función área) y saber el teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow.
• Saber calcular el área de recintos planos limitados por curvas.

Ejercicios de integrales definidas. (ABM)

Solución (5)

Solución (1-4)

Integrales Definidas (ABM)

Se utilizan para calcular el área comprendida entre f(x) y el eje x en el intervalo (a,b). Matemáticamente:

Para realizar este cálculo utilizamos la Regla de Barrow: sea G(x) primitiva de f(x), y f(x) es continua en (a,b), entonces:

El área comprendida entre dos funciones f(x) y g(x) en (a,b), viene definida por:

Propiedades:

Ejercicios de integrales indefinidas(II). (ABM)

Solución 1-4

Ejercicios de integrales indefinidas. (ABM)

Solución

Integrales Indefinidas. (ABM)

Las integrales se utilizan en matemáticas para calcular primitivas. F(x) será primitiva de f(x), si f(x)=F´(x). Matemáticamente se expresa:

Para cada valor de C, existe una primitiva de f(x).

Principales funciones definidas:

Propiedades de las integrales:

Integral por partes:

Método de sustitución: consiste en efectuar un cambio de variable: f(x)=t.

Integrales racionales:

Ejercicios de derivadas. (ABM)

solución (1)

solución (2-4)

Derivadas. (ABM)

Definición de derivada:
La derivada en un punto a es:

Esa función será derivable en el punto a siempre que es límite exista y es la pendiente de la recta tangente a la función por ese punto. Si una función es derivable, entonces también es continua. Además de la derivada de f(x), también existe la derivada segunda (derivada de f'(x)), tercera, etc.

Calculo de derivadas:

Propiedades de las derivadas:

Ejercicios de continuidad. (ABM)

solución (1-2)

solución (3)

solución (4-5)

Continuidad. (ABM)

Una función f(x) es continua si es continua un cada punto de su dominio. Para que f(x) sea continua en un punto c es necesario que:

Para ello f(c) debe ser un número finito.
Las siguientes funciones son continuas en:

En una función definida a trozos, los problemas podrán estar en las ramas y en sus uniones.
Discontinuidades:
Es cuando no se cumple la condición de continuidad. Tipos:

• Disc. evitable: no existe f(c), pero si el lím f(x) cuando x tiende a c y es finito.
• Disc. de primera especie: existen ambos límites laterales pero no son iguales.
• Disc. de segunda especie: cuando no existe uno de los límites laterales.

Teoremas sobre continuidad:

• T. de Bolzano: Si f(x) es continua en [a,b] y el signo de a es distinto del de b, entonces debe haber un punto (c) en ese intervalo para el que f(c)=0.
• T. de los valores intermedios: Si f(x) es continua en el intervalo [a,b], entonces debe haber un punto s en el cual f(s)=u (f(a)<u<f(b)).
• T. de Weierstrass: Si f(x) es continua en [a,b], entonces la función tiene un máximo y un mínimo en ese intervalo.

Ejercicios de límites. (ABM)

soluciones(1-5)

soluciones(6-10)

soluciones(11-15)