1-Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.
2-Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura
engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el
volumen del cono sea máximo?
engendrando un cono. ¿Qué valor debe darse a la base para que el
volumen del cono sea máximo?
3-Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de
1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se
utilice el mínimo posible de metal?
1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se
utilice el mínimo posible de metal?
4-Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo
del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea
un mínimo.
del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea
un mínimo.
5-Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos
trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.
Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para
que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el otro un cuadrado.
Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para
que la suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
6-Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo
isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.
isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.
7-Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor
que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen
ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es
de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.
que tiene forma de paralelepípedo rectangular sabiendo que su volumen
ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es
de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.
8-Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón
de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando
convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para
que volumen de dicha caja sea máximo.
de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando
convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para
que volumen de dicha caja sea máximo.
9-Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes
superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm
de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la
superficie del papel.
superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm
de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la
superficie del papel.
10-El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que
fabrica autobuses viene dado por la función:
fabrica autobuses viene dado por la función:
B(x)= 1.2x − (0.1x)3
donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
11-Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos
cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la
producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:
cada uno. Se calcula que por cada árbol adicional plantado, la
producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:
1. La producción actual de la huerta.
2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x
árboles más.
árboles más.
3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se
plantan x árboles más.
plantan x árboles más.
4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la
huerta para qué la producción sea máxima.
huerta para qué la producción sea máxima.
12-Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio
y la amplitud del sector de mayor área.
SOLUCION DE LOS PROBLEMAS ANTERIORES
1
Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de
radio 12 cm.
radio 12 cm.
2
Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono.
¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
¿Qué valor debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
3
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad.
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
4
Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero
más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
4
Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero
más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
6
Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base
10 cm y por altura 15 cm.
10 cm y por altura 15 cm.
Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:
7
Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo
rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2
es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.
rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2
es de 50 € para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.
8
Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50
cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.
Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja.
Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
9
Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura
y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie
del papel.
y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie
del papel.
10
El beneficio neto mensual, en millones de euros, de una empresa que fabrica autobuses viene dado por la función:
B(x)= 1.2x − (0.1x)3
donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1. Calcula la producción mensual que hacen máximo el beneficio.
2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
11
Una huerta tiene actualmente 25 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se calcula que por cada árbol
adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:
adicional plantado, la producción de cada árbol disminuye en 15 frutos. Calcular:
1. La producción actual de la huerta.
Producción actual: 25 · 600 = 15.000 frutos.
2. La producción que se obtendría de cada árbol si se plantan x árboles más.
Si se plantan x árboles más, la producción de cada árbol será: 600 − 15 x.
3. La producción a la que ascendería el total de la huerta si se plantan x árboles más.
P(x) = (25 +x)(600 − 15x) = − 15 x2 + 225 x + 1500
4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para qué la producción sea máxima?
P′(x) = − 30 x + 225 − 30 x + 225 = 0 x = 7. 5
P′′ (x) = − 30 < 0
La producción será máxima si la huerta tiene 25 + 7 = 32 ó 25 + 8 = 33 árboles
12
Un sector circular tiene un perímetro de 10 m. Calcular El radio y la amplitud del sector de mayor área.
