Los
límites son los comportamientos que tiene una función en cierto punto x.
Límites
laterales de un punto:
Límite por
la derecha
Se dice que el límite por
la derecha de una función f(x)
en el punto A es cuando podemos
hacer f(x) tan cercano a A como queramos eligiendo x lo suficientemente próximo a A por la derecha, es decir,
mayor que A. Se denota como:
Límite por
la izquierda
Se dice que el límite por
la derecha de una función f(x)
en el punto A es cuando podemos hacer f(x) tan cercano a A
como queramos eligiendo x lo
suficientemente próximo a A por
la izquierda, es decir, menor que A.
Se denota como:
Límite
de f(x) cuando x tiende a un número real:
Límite finito
El límite de la función f(x) cuando x tiende a A existe cuando:
Límite infinito
El límite de la función f(x) cuando x tiende a A por la izquierda existe
y es igual a ±∞ si podemos hacer f(x) tan grande como queramos,
eligiendo x lo suficientemente cercano a A por la izquierda. Lo expresamos de la siguiente manera:
Por
la derecha es igual, pero colocando A+
en lugar de A-.
Normalmente se usan para estudiar una función cuando esta tiene
problemas en un punto ‘’A’’. Suele ser una asíntota vertical.
Límite de f(x) cuando x tiende a infinito:
Límite finito
Es cuando podemos hacer f(x)
tan cercano a L como queramos
eligiendo x suficientemente grande.
Se expresa como:
Cuando esto se cumple la gráfica tiene una asíntota horizontal en y=L.
Límite infinito
El límite de f(x)
cuando x tiende a ±∞ existe y es
igual a ±∞ si podemos hacer f(x) tan
grande como queramos con valores suficientemente grandes de x. Se expresa como:
Propiedades de los límites:
Si lim f(x)=a, lim g(x)=b y a y b son
números reales.
Indeterminaciones:
·
∞/∞
Supongamos que lim f(x)=∞
y que lim g(x)=∞; y que queremos calcular lim f(x)/g(x)
Una forma de resolver esta indeterminación es usando la regla de l’Hôpital:
Si f(x) y g(x) son polinomios y x0 es ±∞, entonces se divide
ambos polinomios por la mayor potencia de x,
se simplifican las acciones y se hace tender x a ∞.
·
0/0
Es cuando el límite de f(x)
y g(x) es igual a 0. Si son polinomios se factorizan los
dos y se eliminan los factores que compartan. La otra forma de solucionarlo es
por medio de la regla de L’Hôpital.
·
0.∞
Se transforman en indeterminaciones del tipo (0/0) o (∞/∞). Por
ejemplo:
·
∞−∞
Se resuelven efectuando la diferencia. Si aparecen raíces, entonces
se multiplica y se divide por la expresión conjugada:
